חורף 2025 – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2025 – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – הערך של a

3סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים

📄 נוסח השאלה

נתון השוויון:

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)

= n(n + a)(n + 4)6

עבור n טבעי זוגי. a הוא פרמטר.

(1) מצאו את הערך של a.

(2) בעבור הערך של a שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי זוגי.

סעיף א (1) – הערך של a

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)
= n(n + a)(n + 4)6

המספר הזוגי הראשון הוא n = 2. אז באגף שמאל יש איבר אחד: 2 · 4 = 8.

2(2 + a)(2 + 4)6 = 8

2(2 + a) = 8

2 + a = 4

a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)
= n(n + a)(n + 4)6

נוכיח לכל n זוגי:

8 + 24 + … + n(n + 2)

= n(n + 2)(n + 4)6

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

8 = 2 · 4 · 66 = 8 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:

8 + … + k(k + 2) = k(k + 2)(k + 4)6

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 2
2. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 2
4. מסקנה: נכון לכל n זוגי

סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים · המשך

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)
= n(n + a)(n + 4)6

8 + … + k(k + 2) = k(k + 2)(k + 4)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2

צריך להוכיח:

המספר הזוגי הבא הוא k + 2, והאיבר החדש הוא (k + 2)(k + 4):

8 + … + k(k + 2)

+ (k + 2)(k + 4)

= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k(k + 2)(k + 4)6 + (k + 2)(k + 4)

📐 הנחת האינדוקציה

8 + … + k(k + 2)
= k(k + 2)(k + 4)6

סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים · המשך

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)
= n(n + a)(n + 4)6

= k(k + 2)(k + 4)6 + (k + 2)(k + 4)

נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):

📐 הוצאת גורם משותף

= (k + 2)(k + 4)(k6 + 1)

= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא